要说曲面建模，就无法避开UV坐标的，其实很多人都是在应用软件中了解到UV坐标的，也许你也曾试图寻找过相关的资料想钻研明白，但肯定用不了多久就放弃了，因为会牵扯到一个又一个数学概念，而且每一个概念都是一本书的内容，比如“非欧空间”、“微分几何”、“NURBS”等等，再加上软件会自动帮你进行曲面的UV分割，你就更加没有动力再去透彻地了解其数学原理。但是即使你已经很熟悉地进行具体操作了，很多时候可能内心还是稍稍有些不安，因为如果有人问你，什么是UV坐标时，你挠挠头觉得无从说起。
数学理论有其自身之美，但是能享受公式推导变换的人毕竟凤毛麟角，大多数人只能生硬地接受，而我们的教育体系对数学各分支门类的教学，也无法做到将它的应用范围融入其中，也就是说抽象理论与实际应用还有着不小的鸿沟。让我最有感触的是线性代数，我们在学习的时候，虽然照本宣科地进行行列式、矩阵等各类运算，但其实是根本不知道它们将用在什么地方，后来慢慢地发现不同的领域中的各类问题需要用到这方面的知识，只是当时又忘记了原来的内容，只得回头重新温习。有时候会想到，那些抽象数学体系的创立，可能是因为某一个具体的应用，也可能就是抽象理论的整合归纳，但无论如何，创建它的人都是了不起的大师！
让我们回到UV坐标，针对某一个具体的曲面，可以通过该曲面上的U、V坐标值来指定曲面上的某个确定的点。
由于我们已习惯了欧几里得空间，习惯了在笛卡尔三维坐标系下表示空间点的方式，即使你已经找到了很多相关资料，依然可能会有这样一些问题，比如：
1、为什么能用（u,v）两个坐标值来表示空间曲面上点位置？
2、曲面上的UV线是怎样形成的？
3、采用UV坐标有什么意义？
4、所有曲面都可以UV坐标化吗？
虽然有点勉为其难，但我还是试着尽量从几个角度通俗地来解释一下UV坐标。
一、参数方程
对于点的曲面坐标，有些资料中，还给出了（u,v,w）来类比我们浸淫多年的欧式坐标系（x,y,z）,这其实是个误导，因为这里的u、v其实是来源于参数方程的两个参数，何来的w呢？
空间曲面的参数方程是这样的：
这是以u、v为参变量的双参数方程，与空间任意点的坐标（x,y,z）不同，如果你通过（u,v）两个值指定了曲面上的一个点的位置，这里除了两个坐标值条件外，还有一个隐含的条件，就是该点在指定的曲面上，曲面参数方程本身就是一个已知条件，并非（u,v）两个坐标值就能指定空间任意点。
与空间曲面类似，空间曲线方程是单参数方程，形式如下：
它只有一个参数t。
为什么空间曲线参数方程只有一个参变量，而空间曲面参数方程需要两个呢？
我们的教科书只管给出公式，却没有回答这类的问题。
我们不妨将独立参变量的个数理解为“参数自由度”这样一个概念，对于一个既定的空间曲线上的点而言，只要知道它的一个坐标值，比如x=x0，那么就可以确定是曲线上的某个点，如果需要图形辅助理解，就是x=x0这个这个平面与空间曲线的交点。因此，我们认为空间曲线的“参数自由度”为1，所以参数方程的参数个数为1。
而对于已知的空间曲面而言，需要知道两个坐标值，才能确定曲面上对应的点，同样用图形辅助理解，两个平面的交线与空间曲面的交点。所以空间曲面的“参数自由度”为2，曲面的参数方程的参数个数为2。
这样的说法仅仅是帮助应用者去理解，而不是严格意义上的证明，而且本文的核心就是“帮助理解”。
二、黎曼空间
很多资料上为了帮助理解曲面上的UV坐标，会特意做一个如下图这样的一个映射关系，将平面矩形网格与曲面的UV坐标网做一个对应。甚至让我们将曲面的UV坐标网，想象成由一个平整的矩形网格变形而来的，也算是煞费苦心了。
这样解释可能也是一种逃避，因为不想突破既有的欧几里得空间知识的边界。其实，本来就有曲面空间几何体系的，只不过往往在纯数学或者物理领域理科生才会接触到，我们工程领域也许是被一堆堆公式吓倒了，以至于自然地拒之于千里之外。
我们不妨作为科普性质地做些必要的了解，然后怀着一颗崇拜的心，但是又可以心安理得地使用他们非凡的成果。
如果一定要从几何理论上来理解UV坐标，那就不得不搬出一个大咖“黎曼”，就是下面这个人，德国数学家，40岁就去世了，他开创的黎曼几何，给爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。
黎曼建立了黎曼空间的概念，把欧氏几何、非欧几何都包进了他的体系之中，在这里说黎曼空间，我们无意去罗列甚至研究抽象的数学理论，仅仅是为了帮助我们突破笛卡尔平直坐标系的惯性思维，使我们明白，我们所学到的知识，仅仅是一个大的几何体系下的一个小领域，但是目前研究曲面的构形，不得不用到黎曼空间的概念，是逃避不了的，其实也仅仅是理解而已，很多基于理论的具体应用，软件的库文件去实现了，而我们不过是调用（程序开发者）或者去使用调用结果而已。
然而，即使是理解也是有难度的。
也有资料对黎曼空间的解释就是弯曲的空间。为了抵抗既有知识的束缚，我们需要充分地发挥想象力。针对一维空间，不妨将直线数轴的概念推广到沿着空间曲线，而将该曲线称为一个线空间，那么类似数轴上长度单位的刻度点，在线空间上也有用来度量的分割点，当然度量的单位就不仅仅是长度了。
顺着这个思路，二维空间就是面空间，当然，这里的面自然不局限于平面，可以是任意的曲面，而且对应一维线空间上的刻度点，二维面空间上是两个方向的度量参考线，当然不局限于直线，只不过绘出这些线以后，与笛卡尔坐标系中XY平面坐标网有些类似，这就是UV坐标线。
怎样来理解UV两个方向的参考线呢？
我们也可以借助于曲面参数方程来进行如下的推演：