0 引言

遗传算法起源于对生物系统所进行的计算机模拟研究。最早是1975年美国 Michigan 大学的Holland 教授及其学生发展出来的，他发展了复制、交叉、变 异、显性、倒立等遗传算子。遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传机 制的随机搜索算法。在后来的发展中，遗传算法在各类优化问题中得到了广泛的 应用。遗传算法与传统的算法不同，大多数古典的优化算法是基于一个单一的度 量函数（评估函数）的梯度或较高次统计，以产生一个确定性的试验解序列; 遗传算法不依赖于梯度信息，而是通过模拟自然进化过程来搜索最优解，利用某种 编码技术，作用于称为染色体的数字串，模拟由这些串组成的群体的进化过程。 遗传算法通过有组织的、随机的信息交换来重新组合那些适应性好的串，生成新 的串的群体，达到优化的目的。 受剪承载力和钢板强度的前提下，降低此类构件造价。根据多目标函数的最优化 设计，比原方案降低了成本。

1 遗传算法的基本流程

遗传算法以一种群体中的所有个体为对象， 并用随机化技术指导对一个被编 码的参数空间进行高效搜索。其中选择、交叉和变异构成遗传算法的遗传操作； 参数编码、初始群体的设定、适应度函数的设计、遗传操作设计、控制参数设定等五个要素组成了遗传算法的核心内容。主要步骤有：（1）编码；（2） 初始 群体的生成；（3）适应性值评估检测；（4）选择；（5）交叉；（6）变异。遗 传算法中有两种运算: （1）遗传运算：交叉和变异；（2）进化运算: 选择。 一般GA的计算流程如图1所示。

2 螺栓连接钢构件分析

考虑一螺栓连接钢构件。如图2所示，550×200×15mm的矩形截面钢板，用四个 螺栓固定于槽钢上，在矩形钢板的右侧端部施加一水平力 F_H= 16kN 和一垂直力 F_V= 16kN 。螺栓直径设为d，分别对称布置于钢板和槽钢的中心线上，螺栓之间的距离设为a和b。

2.1 力学分析

由几何关系知:

由力学分析可知:

可以看出:

F_max = F_B

螺栓最大剪应力为:

螺栓的最大支承正应力:

假设临界弯曲应力发生在 y 轴，并通过 A 、 B 螺栓，力矩计算如下：

截面惯性矩为：

钢板临界弯曲应力为：

2.2 螺栓成本分析 设螺栓配件的价格如表1所示。其中单组总价为螺栓、螺帽各以100 个、垫 片200 片为单位。采用最小二乘法得出螺栓造价函数为:


3 构件优化数学模型

3.1 设计参数

令a、b、d 为螺栓结构之设计参数。其定义如下：a——螺栓水平距离；b ——螺栓垂直距离；d——螺栓直径。

3.2 目标函数

此优化设计的目的是降低
F_max ，τ _max ，σ _max ，σ _bmax ， C_bolt ，五种目标函数，定义适应度函数如下：

若同时考虑多个目标函数，定义一多重目标函数为：

其中 w_i 为加权系数，可根据需要调整。

3.3约束条件

为避免螺栓边距过小和间距过小，由《钢结构设计规范》知：
0.75d < a < (250 / 2 -1.5d )
0.75d < b < ( 200 / 2- 1.5d )
当螺栓直径范围己知，可知a、b、d 的范围：
0 < d < 47.625
0 < a < 125
0 < b < 100

4 遗传算法 

4.1 遗传算法流程

如图1所示本算例的遗传算法流程图，首先需要设定种群大小、编码字串长 度、繁殖代数、交叉概率、突变概率、加权值等参数；然后随机产生初始种群编码计算其每一个体编码所代表的a、b、d值；再由a、b、d值可计算出（1） 螺栓的最大承载力； （2）螺栓的最大剪应力； （3）螺栓的最大支承正应力； （4） 钢板的临界弯曲应力；（5）对应的成本适应度函数值。可由每一种群个体的适 应度函数值统计出种群的（1）最大适应度函数值； （2）平均适应度函数值； （3） 最小适应度函数值。接着由种群中每一个体的适应度函数选出较好的编码，考虑 交叉概率和突变概率的影响，每两个个体编码可产生两个新个体编码，以获得更 好的适应度函数值。分别判断（1）螺栓的最大承载力； （2）螺栓的最大剪应力； （3）螺栓的最大支承正应力；（4）钢板的临界弯曲应力；（5）成本是否均小 于原始设计值，并接着判断每一设计值的a、b值，以排除不合理的设计。

4.2 求解

求解时设定参数如下：种群大小为40，字串长度为30，繁殖代数为30，交叉 概率为0.6，突变概率为0.06。当选择多重目标函数，加权值为： w₁= 5 .0 、w₂ = 2.0 、 w₃ = 2.5 、 w₄ = 1.0 、 w₅ = 2.8 。图3为适应度函数轨迹图，可以看出平均值和最大值都有逐渐增大的趋势，图4为考虑多重目标函数时螺栓最优位置分布图。 

5 结果与讨论 

经过遗传算法优化的部分结果统计参见表2和表3。

以上算例成功地应用遗传算法进行螺栓连接钢构件的优化设计，可以看到：

（1）遗传算法可以用于螺栓连接钢构件、螺栓位置及尺寸的优化设计；

（2）考虑了五种目标函数，分别为①螺栓的最大承载力；②螺栓的最大剪 应力；③螺栓的最大支承正应力；④钢板的临界弯曲应力；⑤成本；

（3）经过优化设计后，比原设计减少所受支承应力5～20%左右；

（4）考虑目标函数的各变量均衡性，建议螺栓尺寸及位置为a=98.319、 b=75.219、d=15.875。